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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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9. Halle los valores de $a$ y de $b$ de modo que el polinomio de Taylor de orden 2 de $f(x)=a \ln (1+b x)$ en $x=0$ sea $p(x)=2 x+\frac{3}{2} x^{2}$.

Respuesta

La clave para encarar este ejercicio es acordarnos de la relación clave que cumplen $f$ y su polinomio de Taylor en $x=2$, que es que...

$f(0) = p(0)$

$f'(0) = p'(0)$

$f''(0) = p''(0)$

Entonces, vamos a plantear estas relaciones y esperamos obtener condiciones para $a$ y $b$ para que se cumplan estas igualdades :)

👉 $f(0) = p(0)$

Si evaluamos tanto $f$ como el polinomio en $x=0$, vemos que ambos valen cero, sin importar quién sea $a$ y $b$. Por lo tanto, de esta igualdad no obtenemos ninguna información.

👉 $f'(0) = p'(0)$

Primero hallamos \( f'(x) \), acordate al derivar que $a$ y $b$ son simplemente números! \( f'(x) = a \cdot \frac{b}{1+bx} \) Evaluamos en \( x = 0 \): \( f'(0) = ab \) Dado que \( p'(x) = 2 + 3x \), entonces \( p'(0) = 2 \). Por lo tanto, igualando ambos resultados nos queda:

\( ab = 2 \)

Perfecto! Ya tenemos una primera ecuación que relaciona $a$ y $b$. Veamos que información nos aporta la derivada segunda...

👉 $f''(0) = p''(0)$

Consejo para derivar $f$, porque sé que más de unx se va a perder acá. Escribí a $f'(x)$ así

\( f'(x) = \frac{ab}{1+bx} \)

Acá usamos que $ab = 2$, así que nos queda

\( f'(x) = \frac{2}{1+bx} \)

Ahora derivamos usando regla del cociente:

$f''(x) = \frac{-2b}{(1+bx)^2}$

Evaluamos en $x=0$

$f''(0) = -2b$

Dado que \( p''(x) = 3 \), entonces \( p''(0) = 3 \)

Igualamos y nos queda:

\( -2b = 3 \) \( b = -\frac{3}{2} \)

Perfectoooo, ya tenemos el valor de $b$! Ahora para obtener $a$ recordemos que:

\( ab = 2 \)

$a \cdot (-\frac{3}{2}) = 2$

\( a = -\frac{4}{3} \)

Y estos eran los valores de $a$ y $b$ que estábamos buscando :)
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Avatar Sarasino 24 de octubre 20:27
hola florr, duda de domde sale el 3x es un error ?, por que seria 2x no?

2024-10-24%2020:26:34_2679563.png
Avatar Flor Profesor 25 de octubre 08:29
@Sarasino Hola! El $3x$ sale de acá, fijate que vos tenías que 

$p(x)=2 x+\frac{3}{2} x^{2}$

Entonces, cuando derivas $\frac{3}{2} x^{2}$, con las reglas para polinomios, baja el 2 y se simplifica con el otro 2, y por eso te queda 3x :)
Avatar Sarasino 26 de octubre 12:41
@Flor ahhh cierto gracias flor 

Avatar Tadeo 1 de julio 19:09
Hola Profe. Por que la primer derivada de f(x) es b/1+bx? no seria  1/1+bx * b? Saludos
Avatar Tadeo 1 de julio 19:12
ah ya entendi, mil disculpas
Avatar Flor Profesor 2 de julio 09:40
@Tadeo Buenísimo que te diste cuenta sólo al final! :) 
Avatar Manuel 4 de junio 18:29
Hola Flor! Al final del ejercicio no quedaría que a=-4/3? Así me quedó a mí en el cuaderno. Saludos! 

Avatar Flor Profesor 4 de junio 21:38
@Manuel Hola Manu! Ay si obvio jajaaja me faltó escribir el signo $-$ en el último renglón! Ya mismo lo editooo :) Gracias por avisar!
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